Інформація про курс

Основною метою курсу «Числові системи» є побудова і вивчення системи натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел на аксіоматичній основі. Даний курс має безпосереднє відношення до питань обґрунтування математики і тому разом з курсом математичної логіки відіграє особливу роль у процесі становлення викладачів математики та інформатики різних навчальних закладів.

Для досягнення основної мети в курсі «Числові системи» розв’язуються основні завдання:

– поглиблюється розуміння принципово важливих питань обґрунтування математики;

– остаточно формуються знання про відношення, алгебраїчні операції, алгебраїчні системи та їх ізоморфізм;

– поглиблюються знання про аксіоматичний метод у математиці, етапи його розвитку, про проблеми несуперечності, категоричності та незалежності системи аксіом;

– розглядаються принципово важливі питання розширення алгебраїчних систем, в тому числі і числових систем та, зокрема, системи комплексних чисел  до системи гіперкомплексних чисел.

В результаті вивчення дисципліни студенти повинні знати:

– означення, основні властивості, класифікацію відношень (зокрема, бінарних) та алгебраїчних операцій;

– сутність аксіоматичного методу, етапи його розвитку;

– означення інтерпретації та моделі аксіоматичної теорії, проблем несуперечності, категоричності та незалежності системи аксіом;

– означення та основні факти впорядкованих груп, кілець і полів;

– означення та основні властивості нормованих кілець і полів, властивості норми;

– аксіоматичні теорії систем натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел;

– теорему Фробеніуса про алгебри скінченного рангу з діленням над полем дійсних чисел.

У результаті вивчення дисципліни студенти повинні вміти:

– формулювати означення та наводити приклади відношень різних типів, зокрема, відношень еквівалентності та відношення порядку;

– формулювати означення та наводити приклади впорядкованих алгебраїчних систем, зокрема, кілець і полів з архімедівським і неархімедівським порядком;

–  формулювати аксіоматичні означення числових систем, доводити теореми про несуперечність, категоричність систем аксіом;

- формулювати і доводити теореми про зв’язки чисел системи, що отримана в результаті мінімального розширення попередньої числової системи;

– наводити приклади лінійних алгебр нескінченного і скінченного рангів, алгебр з діленням, вміти доводити теорему Фробеніуса та її аналоги для поля раціональних та поля комплексних чисел.